摘要:为了确定起重机在起升过程中产生的最大动载荷,建立了非线性起升动力学模型。利用该模型研究起重机在梯形起升速度曲线下的动力响应,并将求取结果与实测进行对比,验证了模型的准确程度。模型较为准确的反映了荷重离地起升过程,可以用于计算起升动力响应,求得的动载荷可用于起重机结构动态有限元分析。
关键词:起重机;非线性;起升动载系数;起升速度曲线;离地速度
1.前言
设计起重机时首先必须确定载荷,然后才能据此进行结构设计。作用在起重机上的载荷有多种,起升过程产生的动载荷往往在起重机中占有重要地位。通常使用起升动载系数f2[1]来估计起升时产生的最高动力值。许多国家的起重机设计规范都给出了起升动载系数的具体计算方法。人们也提出了各种估计起升过程中的最高动力值的计算方法[1~5],这些动载系数计算公式通常是建立在线性振动模型和经验上。将起升过程中起升绳的等效刚度视为常量,然后在离地时给定荷重一个初速度[1~4],从而转化为少自由度的振动问题来估计最大载荷。这样处理没有考虑起升时起重机的起升速度不断变化的事实,因而误差较大。
实际的起升过程是起升速度随时问变化,然后达到设定的稳定提升速度的动态过程,荷重离地时系统的自由度也发生转变,而且由于卷简的卷绕运动导致起升绳的刚度变化。充分考虑这一动态过程建立相应的模型才能得到更符合实际的最大动载。本文以提升速度曲线为过程量,建立起重机的变刚度、变阻尼[6]、变自由度的非线性起重机动力学模型。建立的模型也可以用于求取荷重离地时的速度以及量化分析起升状态级别的差异,为起重机的合理设计提供指导。
2.起升动力模型的建立
建立起升动力学仿真模型时必须对多种因素加以考虑,并进行合理的抽象处理才能建立比较符合实际的模型。模型的建立需认真分析待研究对象,动力分析结果的准确性与过程描述和模型本身的准确程度有关,如刚度、质量、阻尼、非线性及其作用过程。
对于求取起升过程中产生的最高动载荷,少自由度模型一般就能满足应用需求,因此可以简化为图1所示的模型,离地前为单自由度,离地后为2自由度。
2.1起升过程分析
准确描述起升过程对于动载荷的模拟具有重要意义,通常将起升过程可分为3个阶段[2]:
第l阶段 从起升机构启动开始至起升钢绳滑轮系统将要受力时结束,这一过程消除起升绳松弛和机构间隙,起升机构仅空转;
第2阶段 从起升钢绳开始受力时开始至起升质量离地时结束,同时结构开始受力变形,主要是克服结构和钢丝绳弹性变形,为荷重离地起升创造条件;
第3阶段 荷重离地并上升,系统自由度发生转变,荷重开始参与整个系统的振动。
2.2荷重离地前的动力学模型
由上述过程可知,由于结构和钢丝绳的弹性变形,在荷重离地时起升卷筒虽已达到一定的速度,但荷重仍静止在刚性的基础上。设m1为结构等效质量,m2为荷重质量,K1为结构等效刚度。本文在起升机构起动时起升绳已被拉直(但尚无张力)的条件下建立模型,即从第2阶段开始分析。当起升绳拉力与荷重的重量相等时荷重将离开地面,设钢丝绳t时刻的变形为ε(t),刚度为k2(t),对m1应用牛顿第二定理得
(1)
卷筒收绳量可以表示为
S(t)= (t)R=ε(t)+x1(t) (2)
则式(2)可以写为
(3)
离地时刻t0应满足的力学条件
Frope(t0)=m2g (4)
设L(t)为t时刻起升绳总长度,起升绳分支数为n,钢丝绳弹性模量为Es,横截面积为As,则
(5)
2.3荷重离地后的动力学模型
在荷重离开地面后荷重参与系统的振动,自由度将发生改变,设起升高度为h(t),则
h(t)=-[ (t)R-ε(t)-x1(t)] (6)
将式(6)对时间t求一阶导数可得荷重的速度,求二阶导数可得荷重的绝对加速度
(7)
(8)
对荷重m2在垂直方向应用牛顿第二定律得
(9)
(10)
结合式(3)可得荷重离地后的动力学方程为
(11)
这里由于选取的广义坐标的原因而与通常推出的二自由度系统稍有不同,质量矩阵和刚度矩阵均为非对称阵。为了分析上的方便,将离地时刻的时间设为0后重新开始分析即可求得式(11)的解,该微分代数方程组适用离地前的模型式(3)求得的初始条件。
3.数值方法
离地前后的动力学方程均可以抽象为
(12)
M(t)、K(t)、F(t)分别为模型的等效质量、刚度和载荷矩阵,通常M(t)是常量;,x(t)分别是系统的加速度矢量、位移矢量;F(t)为系统广义载荷矢量。
若不考虑阻尼,则计算出的响应与实际相差较大,从宏观看阻尼主要有黏性阻尼和结构阻尼。通常从整体上考虑阻尼的影响,一般采用比例阻尼假设,可以表示为
C(t)= M(t)+ K(t) (13)
本文M(t)为常量,考虑阻尼,则式(12)可写为
(14)
式(14)为微分/代数方程组,这类方程一般具有较强的非线性,经过数学处理后,可归结为求解一组二阶微分方程。但通常无法得到解析解,更实用的是数值方法。通常有2种数值方法进行求解:一是直接数值积分法,二是降阶为一阶微分方程进行求解。
直接积分法有很多种,如中心差分法,Wilson- 法、Newmark法等[7]。本文采用Newmark法求解方程(14)。
求出响应后,若t1时刻起升绳拉力达到最大值,则可以使用下式计算起升动载系数
(15)
4.模型应用
起重机典型的起升特性曲线见图2,一般采用梯形起升速度曲线。从本文建立的模型可以看出,荷重和起重机表现出的动载荷时间历程表现为系统对起升速度曲线的响应。同时也可以分析荷重离地的理论速度以及各种起升状态级别。
4.1起升动载系数的计算
某臂架起重机的结构等效刚度2.1955 106N/m,起升绳刚度2.0497 107N/m,结构等效质量18000kg,荷重质量40000kg,稳定起升速度27.5m/min,起动加速时间为6s。采用梯形速度曲线进行了起升动载仿真,见图3。起升绳最大拉力为44.898t,动载系数为1.123,笔者实测的动载系数为1.09,可见本文的方法精度与实测比较接近。也可以看出钢丝绳动态拉力曲线形状与实测也很接近,因此可以使用本文的方法求出的载荷作为更详细有限元分析的瞬态载荷。
4.2关于离地速度
有些文献、设计标准和规范上的动载系数计算公式需要提供荷重的 离地速度 [1~3]对动载进行估计。在考虑了起重机类型、用途、操作、控制系统等因素的影响引入了操作系数[1~2],力图建立额定起升速度与 离地速度 的关系。虽然这简化了动载的估计,但由于操作系数选取的不确定性和随意性也导致了不准确性,其合理性值得探讨。通常离地速度其实是测取的荷重离地时的电机转速转换得到的,对于弹性体不能将此速度值等同与荷重离地速度。
利用4.1中的数据求出起升速度为梯形曲线时荷重离地速度和加速度响应曲线,可以发现荷重离地后速度逐渐从0达到一定速度,并呈振动形态,见图4。这也表明了离地瞬间并不存在人们认为的 离地速度 ,所以使用离地速度来估计动载荷并不合理。
4.3动载系数与起升状态级别
按GB/T 3811一1983送审稿的描述,起升动载系数与起升速度和起升状态级别等有关。起升状态级别是由于起升机构驱动控制型式的不同,荷重起升离地时的工作方式会有较大的差异产生。许多国家起重机设计规范都将起升动载系数与起升状态级别的关系进行关联。在某一确定的起升速度下可以使用加速时间(加速度)来定性描述起升状态级别,加速时间越短冲击越猛烈,因此,控制启动时间很重要。起重机的类型、用途、使用类别、驱动控制模式确定后,其起升状态级别就不容易改变了,如脱锭、锻造、电磁盘类起重机,其起动时间很短。
图5是采用4.1参数采用梯形速度曲线进行模拟的结果,并与欧洲搬运工程学会(FEM)起重机械设计规范上的计算动载系数的方法进行了对比。从图5可以看出使用本模型求出的动载系数基本落在FEM限定的范围内。对臂架类起重机,结构的刚度比起升绳刚度要小很多,而桥式起重机的结构等效刚度往往与起升绳的刚度比较接近,起升动载系数可能会有不同的表现,但是它们均可以使用本模型进行计算。各种类型的起重机其动力学特性参数和控制参数一般分布在一定范围内,从统计意义考虑,动载系数也应分布在一定的范围内。各国的规范都将动载系数限定在一定范围内,这也是合理的。实际上并没有一个可以计算所有起重机起升动载系数的统一公式。
5.结论及说明
利用本模型,以4.1的数据为基础分析了起升绳刚度、结构刚度、等效质量等参数变动时对起升动载系数的影响。限于篇幅这里未进一步论述,仅给出结论:随着起升速度和加速度的增加,动载系数基本呈线性增加,增加起升绳的刚度有利于降低动载系数;荷重质量增加时动载系数变化不大,因此最大动载荷仍然发生在最大起升荷重时;降低结构的等效刚度有利于降低动载系数,增加结构的等效质量有利于降低动载系数,但是应注意到结构等效刚度增大时等效质量一般也会增大。从模型分析得到这些结论也与人们通常的观点一致,因此使用本模型进行一些确定性分析可以为起重机的设计提供有意义的帮助。从文中也可以看出,虽然分析时所取的自由度较少,但是也能达到较高的精度。
本模型对起升动载荷的估计可达到比较高的精度,响应曲线与实测也很接近,这说明模型是准确和可靠的。确定了动力学模型的参数后,只要知道实际的起升速度曲线就可以采用本模型进行动态仿真,不同的起升曲线会激发不同的动力响应。实际应用中可能会采用各种速度曲线,对这些曲线的优劣的比较也可以使用本模型进行,从而为控制参数的设置提供一定的指导。
起重机工况确定后,其动载性能与控制系统的控制策略有很大关系,如是否采用无级调速、是否具有稳定低速挡、有无预紧挡等。这些因素会影响实际的动力加载过程,仿真时应尽可能多的考虑这些因素以取得较好的仿真效果。各种类型起重机实际采用的提升策略较为复杂,起重机设计规范GB/T 3811送审稿较多地考虑了控制系统性能对起升动载荷系数的影响,具有一定的合理性。